高校数学を”本質から理解する”

（\(n\)を\(２\)以上の自然数とする。自然数の組\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)を

解とする方程式

（＊）　\(a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1×a_2×\cdots×a_n\)

を考えるとき，以下の各問いに答えよ。）

今回は小問（5）です。

（＊）の解\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)は、

いずれの解も全て、小さい方から順に並べ替えることができ、

また、並べ替えても（＊）の両辺の値には影響せずそのまま成り立つので、

小問（4）同様に本問でも、

\(\quad a_1≦a_2≦\cdots≦a_n\)　

と仮定して考えます。

とすると

\(a_1=a_2=1\)　，　\(2≦a_3≦a_4≦\cdots≦a_n\)

ですから

\(a_1×a_2×\cdots×a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)

\(\qquad =1+1+a_3+\cdots+a_n\)

\(\qquad =2+a_3+\cdots+a_n\)

\(\qquad ≦a_n+a_n+\cdots+a_n\)

\(\qquad =(n-1)a_n\)

よって　\(a_1a_2\cdots a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)

\(\qquad ≦(n-1)a_n\)

両辺を\(a_n\)で割ると

\(\qquad a_1a_2\cdots a_{n-1}≦n-1\)　・・・（a）

（３）のときと同じように、

\(a_3,a_4\)などの各項よりも大きい(または同じ)\(a_n\)に全て置き換えたものを足したものの方が大きい(または同じ)になりますよね。

ここでは、\(a_1,a_2\)が確定していることで、\(a_1,a_2\)の分がまとめて\(a_n\)１個分となり、足す\(a_n\)が１個分減って（３）のときよりも更に少しだけ絞り込めた形になっています。

ここで、さらに何か言えないかを考えて、

「和」の方では、全て\(a_n\)に置き換えることで、何らか意味を持ちそうな不等式へ導くことができましたが、

「積」の方でも何かできないか考えます。

そうすると、今度は、

\(a_3～a_n\)は全て２以上なので、全部最低の２に置き換えて掛け合わせたもの以上になるはずです。

すなわち

\(a_1a_2\cdots a_{n-1}=1\cdot1\cdot a_3\cdots a_{n-1}\)

\(\;≧1\cdot1\cdot2\cdots2=2^{n-3}\)　・・・（b）

（a）,（b）より

\(2^{n-3}≦a_1a_2\cdots a_{n-1}≦n-1\)

すなわち

\(\qquad 2^{n-3}≦n-1\)　・・・（c）

問題が「nの取り得る値をすべて求めよ」なので、

これにいくつか値を入れて探ろうとします。

\(a_i\)は自然数で、「n-3」が出ているので、

意味を持つのはせいぜいn=4以降とあたりをつけ、

\(n=4,5,6\)と入れてみると、

\(n=4\)のとき、\(2^1≦3\)

\(n=5\)のとき、\(2^2≦4\)

となり（c）は成り立ちますが、

\(n=6\)では、\(2^3≦5\)となり、成り立ちません。

\(n=4\)のとき、（＊）の解を求めると、

\(a_1+a_2+a_3+a_4=a_1a_2a_3a_4\)

\(1+1+a_3+a_4=1\cdot1\cdot a_3a_4\)

\((a_3-1)(a_4-1)=3\)

\(a_3≧2,a_4≧2\)より

\(\qquad a_3-1≧1,a_4-1≧1\)

よって、\(a_3-1=1,a_4-1=3\)

\(\qquad a_3=2,a_4=4\)　

\(\qquad (a_1,a_2,a_3,a_4)=(1,\;1,\;2,\;4)\)　となり適する。

\(n=5\)のとき、

\(a_1a_2a_3a_4a_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\)

\(≦a_5+a_5+a_5+a_5+a_5=5a_5\)より

\(a_1a_2a_3a_4≦5\)　　←（３）と同様です

\(1\cdot1\cdot a_3a_4≦5\)　　　

よって　\(a_3a_4≦5\)

\(a_3≧2,a_4≧2\)であるから

\(\qquad a_3=2,a_4=2\)

\(1+1+2+2+a_5=1\cdot1\cdot2\cdot2\cdot a_5\)

\(6+a_5=4a_5\)　\(3a_5=6\)

\(\qquad a_5=2\)

\(\qquad (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(1,\;1,\;2,\;2,\;2)\)　となり適する。

\(=2\)のとき

\(1+1≠1\cdot1\)

より不適

\(n=3\)のとき

（２）より（＊）を満たす解は\((1,\;2,\;3)\)のみであるから、

不適

\(n≧6\)のとき、（c）は成り立たず

\(\qquad 2^{n-3}＞n-1\)　・・・（ｄ）

となっています。

（d）を見ると

\(n=6\)では、

左辺が\(2^3=8\)、右辺が\(6-1=5\)

となっていて、

ｎが一つ増えると左辺はさらに２倍になるのに対し、

右辺は１増えるだけなので、

左辺と右辺の差は広がるばかりなので、

６以上では（c）が成り立つことはなさそうです。

ですから、それを示せば完了（「ｎの取り得る値」すべて確定）です。

二項定理でもいいですが、

まず、「（d）が６で成り立っていて６以上でも成り立つことを示す」ということで、

「数学的帰納法」でやってみましょう。

\(\qquad 2^{n-3}＞n-1\)　・・・（ｄ）

\(n=6\)のとき成り立つ

\(n≧6\)で、\(n=k\)で成り立つと仮定すると

\(\qquad 2^{k-3}＞k-1\)

\(n=k+1\)のとき

\(2^{(k+1)-3}-\{(k+1)-1\}\)

\(=2\{2^{k-3}-(k-1)\}+k-2>0\)　

となり成り立つ。

これは比較的言い易かったと思います。

以上から、

ｎの取り得る値は、　

\(\qquad n=4,\;5\)

最後の部分の別解として、二項定理で示すパターンも

やっておきましょう。

\(\qquad 2^{n-3}＞n-1\)　・・・（ｄ）

を示すのが目標です。

\(2^{n-3}=(1+1)^{n-3}\)

\(=_{n-3}C_0+_{n-3}C_1+\cdots+_{n-3}C_{n-3}\)

\(>_{n-3}C_0+_{n-3}C_1+_{n-3}C_{n-3}\)

\(=1+(n-3)+1=n-1\)

となり（d）が示されました（（c）が成り立たないことがしめされました）

あとの部分は同様です。

本問（小問（５））は、医学部のみの出題です。（医学部本試験は小問（２）（４）（５）の出題です）

小問（３）の誘導もないことと、小問（５）があるので、

（１）～（４）を解く場合との難易度の差がありますから、

志望の学部に応じた対策が必要です。