- 等差数列の一般項、和の公式
【１】 等差数列の一般項、例えば
１，３，５，７，９，１１，１３，１５，１７・・・・・・・
という数列の一般項 \(a_n\) は、どのようにして表せるでしょうか。
\(a_1=1\)
\(a_2=1+2=3\)
\(a_3=1+2+2=5\)
\(a_4=1+2+2+2=7\)
\(a_5=1+2+2+2+2=9\)
別の表しかたをすると
\(a_2=a_1+2\)
\(a_3=a_2+2\)
\(a_4=a_3+2\)
\(a_5=a_4+2\)
のように、次の項との差は常に２です（公差といいます）。
このように次の項との差が等しい数列を等差数列といいます。
等差数列の一般項\(a_n\)をどのようにして求めるか
上の数列で考えてみます。
\(a_2\)だと、\(a_1\)（初項）\(1\)に公差\(2\)を１回足したもの、
\(a_3\)だと\(a_1\)に公差を２個足したもの、
\(a_4\)だと\(a_1\)に公差を３個足したもの、
\(a_5\)だと\(a_1\)(初項）に公差を４個足したものです。
項と項の間の数がいくつかに着目すると
上の図のように、 \(a_5=9\) は初項 \(a_1=1\) に、公差を４個分足して \(9\) になっていることが分かります。
つまり
\(a_6\)なら\(a_1\)に公差を５個、
\(a_n\)なら\(a_1\)に公差を\(n-1\)個足せばよいので
\(a_n=a_1+(n-1)d\) ・・・①
これが
等差数列の一般項の公式です
上の数列の例なら
\(a_n=1+(n-1)・2=1+2n-2\)
\(=2n-1\)
となります。
公差や初項を色々変えて、自分で確かめてみると良いと思います。
（そんなもの当たり前すぎる、と良く理解されている人は試す必要はありませんが）
【２】 次は、等差数列の和の公式です。
上の数列の例で見てみましょう
第ｎ項までの和を \(S_n\) とすると
\(S_n=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+\)
\(・・・+a_{n-1}+a_n\)
ここに、
\(a_2=a_1+d\) , \(a_3=a_1+2d\) , \(a_4=a_1+3d\)
・・・, \(a_n=a_1+(n-1)d\)
と置き換えてみると
\(S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d)+\)
\(\cdots+\left\{a_1+(n-1)d\right\}\) ・・・②
ここで、計算の工夫を考えてみます
「１から１０まで足したらいくつ？」
小学校でやったことのある人もいると思います。
答は「５５」ですが、
やり方は、
X＝１＋２＋３＋・・・＋９＋１０
X＝１０＋９＋・・・＋３＋２＋１
と順序を逆にして並べたものを足すと
２X＝１１＋１１＋１１＋・・・＋１１＋１１＝１１×１０＝１１０
両辺を２で割ると
X＝５５
これを真似します
②と②の右辺の項の足す順序を逆にしたものを並べて書きます
\(S_n=a_1+(a_1+d)+\cdots+\left\{a_1+(n-1)d\right\}\)
\(S_n=\left\{a_1+(n-1)d\right\}+\cdots+(a_1+d)+a_1\)
辺々足すと
\(2S_n=a_1+\{a_1+(n-1)d\}+\)
\(\cdots+a_1+\{a_1+(n-1)d\}\)
\(=n\{2a_1+(n-1)d\}\)
両辺を２で割ると
\(S_n=\dfrac{1}{2}n\{2a_1+(n-1)d\}\) ・・・③
別の表し方をすると
\(S_n=\dfrac{1}{2}n\{a_1+a_n\}\) ・・・④
①、③、④の式の出来る過程を覚えておくことは、
単に等差数列の公式のみならず、
数列の一般的な解法テクニックの
基礎的な力になるので、
すらすら再現できるまで、紙に書いて
公式導出してみましょう。
お疲れ様でした。
高校数学を”本質から理解する”
