今回は、「確率」の入試問題です。
国公立大学らしく、基本的な考え方を問う問題です。
１から６の目が１つずつ書いてあるが、ｋ＝１，２，３，４，５，６について、ｋの目が出る確率が、１の目が出る確率のｋ倍であるさいころを考える。次の問に答えよ。
（１）このさいころを１回投げたとき、３の目が出る確率を求めよ。
（２）ｎを２以上の自然数とする。このさいころをｎ回投げたとき、３の目が２回以上出る確率をｎを用いて表せ。
（３）このさいころを２回投げて出る目の和が偶数になるとき、３の目が１回以上出る条件付き確率を求めよ。
まずは小問（１）から。
この問題に限らず、多くの大問では、明確な誘導ではなくても、肩慣らし的な問題から徐々に難易度を上げていく方式が良く取られています。
本問でいうと、「まずは小問（１）で、『このさいころの場合の各目の出る確率は通常のさいころと異なる』のでそれを体験してね」という、まさに「ウォーミングアップ」のような問題です。
受験生的には、「いわばサービス問題のような小問（１）は落としてはいけない」わけですが、言い方を替えると、「難しい大問でも、小問（１）、（２）くらいまでは『後半の難問へと続く、準備運動、導入的な問題』であって容易に解けることも多い」ので、できなかった問題でも、最低限小問（１）、（２）くらいまでは押さえておけば、他の大問含めたトータルでは十分にその科目の合格点に達する（大学入試（２次）は「満点」を求めてはいない）ことも多いです。
また、一見取り付きにくい問題でも、小問（１）、（２）と「導入」をこなすうちに後半の小問への「あるように見えた壁が取り払われる」ことも多々あり、その意味でも、入試は「解けるものからどんどん解いていく―問題文の見た目に気後れすることなく小問（１）小問（２）とできるものを処理していく―」ことが大事です。
（１）
１の目の出る確率を\(\;a\;\)とすると、
２の目の出る確率は\(\;2a\;,\;\)３の目の出る確率は\(\;3a\;,\cdots\;\)６の目の出る確率は\(\;6a\;\)だから、
１の目の出る確率は、
\(a=\dfrac{a}{a+2a+3a+4a+5a+6a}\)
\(=\dfrac{a}{21a}=\dfrac{1}{21}\) ・・・（ア）
よって、３の目の出る確率は、\(3×\dfrac{1}{21}=\dfrac{3}{21}=\dfrac{1}{7}\)
これでもOKですが、
\(a+2a+3a+4a+5a+6a=21a=1\) （全事象の確率は１です） より、
\(21a=1\;,\;\;a=\dfrac{1}{21}\)
こちらももちろんOKです。
実は（ア）は、
「要は、全体の確率の中の割合的部分が各目の確率」なのだから、
１の目の出る確率は、
\(\dfrac{1}{1+2+3+4+5+6}=\dfrac{1}{21}\) ・・・（イ）
でいいわけです。
小学生（中学受験）の場合には、方程式（文字式）が使えませんから、このように「割合的に考える」わけですが、
高校生の場合も、
確率の合計である\(\;21a\;\)が\(\;1\;\)だから\(\;a=\dfrac{1}{21}\;\)と必ずこの式の形で確認しなくても、（ア）や
\(\dfrac{1}{1+2+3+4+5+6}=\dfrac{1}{21}\) ・・・（イ）
の形でも求められることを理解していることは、確率の基本的な理解とつながっています。
つまり、
確率は、全事象を１＝１００％としたときの、各事象の起こりやすさを「割合的数量」で表したものですから、
本問の各目の出る確率が、１の目の出る確率の「(目の数)倍」と分かれば、
\(\frac{（\mbox{各目の数}）}{（\mbox{目の数の合計}）}=（\mbox{各目の数の出る確率}）\)
と分かります。
小問（２）です。
「２回以上出る確率」
は
「０回と１回の確率を全体から引く」ことで求めましょう。
（２）
さいころを１回投げて３が出る確率は、（１）より\(\;\dfrac{1}{7}\)
３が出ない確率は\(\;\dfrac{6}{7}\)ですから、
ｎ回投げて３が０回の確率は、
\(\qquad \left(\dfrac{6}{7}\right)^n=\dfrac{6^n}{7^n}\) ・・・①
３が１回の確率は、
例えば２回目に３が出て他は３以外だとすると、その確率は、
３が１回出る確率\(\;\dfrac{1}{7}\;\),
３以外が\(\;n-1\;\)回出る確率\(\;\left(\dfrac{6}{7}\right)^{n-1}\;\)
から、\(\;\dfrac{1}{7}\cdot\left(\dfrac{6}{7}\right)^{n-1}\;\)
３が１回のパターンは、２回目に出る以外にも、１回目に出る場合・・・ｎ回目に出る場合、と\(_n C_1\;\)通りあるから
\(\qquad _nC_1\cdot\dfrac{1}{7}\cdot\left(\dfrac{6}{7}\right)^{n-1}\)
\(\qquad =n\cdot\dfrac{6^{n-1}}{7^n}\) ・・・②
３の目が２回以上出る確率は、全体から①と②を引けばよいから、
\(1-\dfrac{6^n}{7^n}-\dfrac{n\cdot6^{n-1}}{7^n}=\dfrac{7^n-6^n-n\cdot6^{n-1}}{7^n}\)
小問（３）です。
条件付き確率の公式は覚えておきましょう。
\(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\) ・・・③
ただし、忘れた場合に備えて、
こっちでも覚えておきましょう。
すなわち
\(P(A)\cdot P_A(B)=P(A\cap B)\) ・・・④
④は、「Aが起こる確率」に「Aが起こった上でBが起こる確率」をかけると「AかつBの起こる確率」になる(意味通り）、と覚えやすいので、
③は④を変形して求められる事を覚えておくと、いざというときに、間違いがないか確認できます。
（３）
２回投げて、出る目の和が偶数である場合を\(\;A\;\)、\(3\;\)の目が１回以上出る場合を\(\;B\;\)とすると、
まず、
目の和が偶数になるのは、１回目も２回目も偶数である場合、か、１回目も２回目も奇数である場合、である。
１回が偶数になる確率は、\(\dfrac{2+4+6}{1+2+3+4+5+6}=\dfrac{12}{21}=\dfrac{4}{7}\)
１回が奇数になる確率は、\(1-\dfrac{4}{7}=\dfrac{3}{7}\)
したがって、
１回目も２回目も偶数である確率は、\(\;\left(\dfrac{4}{7}\right)^2\)
１回目も２回目も奇数である確率は、\(\;\left(\dfrac{3}{7}\right)^2\)
よって、目の和が偶数になる確率は、
\(P(A)=\left(\dfrac{4}{7}\right)^2+\left(\dfrac{3}{7}\right)^2=\dfrac{25}{49}\)
\(P(A\cap B)\;\)は、「日本語」に直して読みましょう。
「AかつBである確率」なので、「目の和が偶数でありかつ３の目が出ている確率」となります。
２回のうち必ず３の目を含み、和が偶数となると、\(3\;\)は奇数であるから、もう一つの目は奇数しか入りません。
これを満たす目の出方は、
\((\;1\;,\;3\;)\;,\;(\;3\;,\;1\;)\;,\;(\;3\;,\;3\;)\)
\(\;\;(\;3\;,\;5\;)\;,\;(\;5\;,\;3\;)\;\)しかありません。
これらの目が出る確率は、
\((\;1\;,\;3\;)\;\)と\(\;(\;3\;,\;1\;)\;,\;\;(\;3\;,\;5\;)\;\)と\(\;(\;5\;,\;3\;)\)はそれぞれ同じなので、
\((\;1\;,\;3\;)\;\)と\(\;(\;3\;,\;1\;)\;\)は
\(\dfrac{1}{21}\times\dfrac{3}{21}\times2\)
\(\;(\;3\;,\;5\;)\;\)と\(\;(\;5\;,\;3\;)\)は
\(\dfrac{3}{21}\times\dfrac{5}{21}\times2\)
これらと、
\((\;3\;,\;3\;)\;\)は
\(\dfrac{3}{21}\times\dfrac{3}{21}\)
すべて足すと、
\(P(A\cap B)\)
\(=\dfrac{1}{21}\times\dfrac{3}{21}\times2+\dfrac{3}{21}\times\dfrac{5}{21}\times2+\dfrac{3}{21}\times\dfrac{3}{21}\)
\(=\dfrac{3}{21}\left(\dfrac{2}{21}+\dfrac{10}{21}+\dfrac{3}{21}\right)=\dfrac{3}{21}\cdot\dfrac{15}{21}=\dfrac{5}{49}\)
ここで公式です。
\(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{5}{49}}{\dfrac{25}{49}}=\dfrac{1}{5}\)
小問（３）は条件付き確率の公式そのままに当てはめる、基本的な問題でした。
強いていうなら、「目の和が偶数」の場合を適切に拾い上げ、その場合の確率をきちんと計算できる基礎的な力、と、それらを条件付き確率の公式に当てはめる作業、が求められていました。
お疲れさまでした。
理工学部・医学部・農学部・教育学部の共通問題は、素直で解きやすい基本的な確率の問題でした。
条件付き確率の実践練習問題として、幅広く他大学志望の学生にも演習に用いることが出来る平易な問題です。
次回未定です。
