「判別式と頂点のｙ座標ⅱ」
【１】
前回と同様に
2次関数の一般式を変形して
\(y=f(x)=ax^2+bx+c\)
\(=a(x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}・・・①\)
頂点の座標は
\((-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^2-4ac}{4a})・・・②\)
今度は
２次関数のグラフが頂点でｘ軸と接している場合を考えましょう。
形でいうと
こうなっているときですね
頂点がｘ軸上⇒頂点のｙ座標 \(0\) です
つまり①の式は
\(y=a(x+\dfrac{b}{2a})^2 ・・・③\)
②は
\((-\dfrac{b}{2a},０) ・・・④\)
となります
この ２次関数のグラフがｘ軸と「接している」という状態は、
すなわち
⇒この２次関数のグラフとｘ軸との「交点が１つ（接点）」、
⇒ｆ(x)=0とおいた「２次方程式の解が１つ（重解）」、
⇒「２次方程式の判別式＝０」、
ということです。
「判別式＝０」のとき、①の式は③になり、
②の頂点のｙ座標は０になり、
２次方程式ｆ(x)=0の解は１個になり、
グラフとｘ軸との交点は、軸のｘ座標 \(x=-\dfrac{b}{2a}\) の１個だけになります。
わかりやすくするために、具体的な数字の入った２次関数のグラフで再度見てみ
ましょう
\(y=f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\)
頂点が（２，０）です。
２次関数のグラフがｘ軸と接している場合です。
ｙ＝ｆ(x)とｘ軸との交点（接点）が、（２，０）の１個だけ
２次方程式ｆ(x)＝０の解がｘ＝２の１個だけ（重解）になります。
判別式＝０です
ｆ(x)を平方完成すると \((x-2)^2\) ですから、
\(( )^2\)のあとが０なので、平方完成と因数分解が一致していますね
\((x-2)^2=(x-2)(x-2)\) なので
「重解」と呼ぶのも納得です。
ｙ＝ｆ(x)のグラフをｘ軸に関して対称なグラフｙ＝ｇ(x)＝ーｆ(x)＝\(-x^2+4x-4\) にすると
こうなりますね
ｆ(x)と比べると、ｙ座標の符号が入れ替わっているだけなので、
ｇ(x)＝０とおいた２次方程式としては同じ結果になりますから（方程式としては移項したり、マイナスかければ同じ式になりますから）、ｘ軸との交点の個数や座標は変わりません。判別式も当然０になります。
ただ、
ｘ＝２のときのｙ＝０が「最大値」になり、
２次不等式 \(-x^2+4x-4<0\) の解は、ｘ＜２，ｘ＞２となります。
頂点から離れるごとにｙが増加するのか減少するのか、などは、
グラフが上に凸か下に凸かによって違ってきます
2次関数（６)は、「最大値・最小値」を予定しています
