「最大値・最小値」
【１】
２次関数 \(y=x^2+2x-3\) について
定義域が次の範囲のときの
最大値・最小値を求めましょう。
(1) \(-3≦ｘ≦-2\)
(2) \(-3≦ｘ≦0\)
(3) \(-2≦ｘ≦0\)
(4) \(-2≦ｘ≦1\)
(5) \(0≦ｘ≦2\)
(6) \(0<ｘ<2\)
(7) \(-2<ｘ<3\)
ｆ(x)＝\(x^2+2x-3\) とする
まずは平方完成しましょう。
\(y=f(x)=x^2+2x-3=(x+1)^2-4\)
(1) \(-3≦ｘ≦-2\)
グラフを書くと
下図のようになります。
グラフは必ず書きましょう。
フリーハンドで大まかで良いです。
理解が深まる・定着する・ミスを防ぐ・解法を得る手がかりになる、
など
常にグラフをざっと書くクセをつけましょう。着実に実力upします
こうなります。
定義域を満たすのは、グラフの実践部分、
最大値はｙの値が一番大きい所なので、
グラフの実践部分の一番高い所ですから、点（ー３，０）
の所です。
すなわち、最大値０（ｘ＝ー３）
最小値はｙの値が一番小さい所すなわち
グラフの実践部分の一番低い所ですから
点（ー２，ー３）の所ですので
最小値ー３（ｘ＝－２）となります
ここでは区間 ー３≦ｘ≦ー２ の間ｙはずっと減少なので
定義域の両端で最大・最小となっています。
(2) \(-3≦ｘ≦0\)
グラフは
こうなりますから
最大値０（ｘ＝ー３）です
今度は、定義域ー３≦ｘ≦０には、頂点（ー１，ー４）が含まれていますから、
定義域の右端ｘ＝０では最小値を取りません。
最小値は ー４（ｘ＝ー１） となります。
(3) \(-2≦ｘ≦0\)
グラフは
こうなります
最大値はいくつでしょうか
グラフの一番高い所が最大値ですから
ここでは（ー２，－３）と（０，－３）が同じく
一番高い位置にあり、
最大値はー３（ｘ＝ー２，０）となります
最小値は頂点ですね、
最小値ー４（ｘ＝ー１）
(4) \(-2≦ｘ≦1\)
グラフは
こうですね
最大値０（ｘ＝１）、最小値ー４（ｘ＝－１）
(5) \(0≦ｘ≦2\)
グラフは
グラフのとおり、頂点は入っていません。
定義域の両端で最大値最小値を取ります。
最大値５（ｘ＝２）、最小値ー３（ｘ＝０）
(6) \(0<ｘ<2\)
グラフは
今度は少し難しいのですが、
⑸と異なり、定義域の両端では ＜ となっており、
≦ ではありませんので、
定義域に ０ と ２ は含まれていません
ｘは、０に限りなく近い値や２に限りなく近い値を
取ることはできますが、
ｘ≠０,２ ですので、
最大値も最小値もありません
最大値 なし 最小値 なし
(7) \(-2<ｘ<3\)
グラフは
こうなります
⑹と同様に定義域の両端の値を取れません。
しかし、頂点が含まれているので、
最小値はあります。
最大値 なし 最小値ー４（Ｘ＝ー１）
お疲れ様でした。
グラフを書けば、最大値、最小値、とても明確になると思います。
