「２次不等式と2次関数のグラフ（ⅰ）」
こんどは２次不等式と２次関数のグラフの関係を見ていきます
【１】 上に凸か下に凸か
前回グラフの効率的な書き方の所で、頂点や切片などと共に挙げましたが
上に凸、下に凸の区別は、高校数学での活躍場面は多いです。
詳しくみていきます
上に凸、下に凸を、言い換えると、曲線の部分的な曲がり方がｙ軸方向上に膨らんでいるか下に膨らんでいるかの区別です。
例えばこれは上に凸と呼ぶということです。
「部分的な」という言い方をしたのは、
数Ⅱや数Ⅲになると一つのグラフの線がｘの範囲によって、上に凸だったり、下に凸だったりする関数も扱うためです。
数Ⅰで出てくる２次関数のほとんどは「グラフ全体が上に凸または下に凸」のものになります。
（１）で使った \(y=x^2-4x+3・・・①\) は、「下に凸」ですね
では、①の右辺の符号をひっくり返してみましょう
すなわち
\(y=-x^2+4x-3・・・②\)
こちらは「上に凸」です
実は \(y=ax^2+bx+c \)のグラフの場合、
\(a<0\) のとき「上に凸」、 \(a>0\) のとき「下に凸」になります
①や②の関数に色んな値を入れて試してみてください
ここでついでにもう一つ学びましょう
①のグラフと②のグラフはｘ軸に関して対称なグラフとなっています
「右辺の符号をひっくりかえした」ということは、
左辺である「ｙの符号を反対にした」ことと同じですから
同じｘの値に対して、①と②では
ｙの値が、絶対値は同じで符号は反対の値を取る、
ということになりますね
すなわち、グラフがｘ軸に関して対称になる、ということです
【２】 グラフがｘ軸より上にある（または下にある）ということ
①のグラフに戻ります。
「ｘ＝０のときのｙの値はいくつですか？」
といわれたら
「ｙ＝３です」
ですよね
では、
「ｘ＝０のときのｙの値 \(f(0)\) は、
０より大きいですか小さいですか」
といわれたら、\(f(0)>0 \) または、 \(f(0)=3>0 \) ですね
ここで、①のグラフにおいて、
点（０，３）は、ｘ軸より上にありますから、
「点（０，３）において関数①のグラフはｘ軸より上にある」
といえます。
要するに、ｘ＝０のときは、
ｙの値（ｆ(x)の値）が正、\( y>0 または f(０)>0 \)という
ことです。
では、①のグラフで、\( x軸よりも下 \)になっているのは、
どの部分でしょうか
\(1<x<3 \) の部分ですよね
ｘ＝1，３の部分は、ｙ(=f(x))の値がちょうど０になっています
２次関数（１）でやりました、２次方程式 \(x^2-4x+3=0\)
の解になっているｘ座標です
その２点は含まず、その間
1＜ｘ＜３ の区間では、
ｙ＜０ すなわち \( y=f(x)=x^2-4x+3<0\) ということです。
実際にｆ(ｘ)のｘに１＜ｘ＜３を満たすｘを入れてみてください。
例えば \(1<\dfrac{3}{2}<3\) ですから、 \(x=\dfrac{3}{2}\) のときのｙの値、すなわち
\(f(\dfrac{3}{2})\)は、
\(f(\dfrac{3}{2})=(\dfrac{3}{2})^2-4・\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{9}{4}-6+3=-\dfrac{3}{4}<0\) となりグラフはｘ軸
より下になりますね。
１＜ｘ＜３を満たす他の色んな値を入れても、ｆ(x)＜０になります。
１＜ｘ＜３ の範囲のｘの値に対してはｆ(ｘ)すなわちｙは負の値を取るのでこの範囲の①のグラフはｘ軸の下側を通るわけです。
では、
２次不等式 \(x^2-4x+3<0\) の解は？と言われると、
\(1<x<3\) となります。
左辺である \(x^2-4x+3\) の値が負になるような \(x\) の範囲は
関数①のグラフが\(x\)軸の下に来るような\(x\)の範囲
ということなのです
では、
\(y=f(x)=-x^2+4x-3・・・②\) のグラフを書いて
２次不等式 \(-x^2+4x-3<0・・・③\) の解を考えてみると
2次不等式の左辺である \(-x^2+4x-3\) の値、すなわち２次関数のｙの値が負になっているグラフの部分は、 \(x<1,x>3\) の部分ですから
２次不等式③の解は
\(x<1,x>3\)
となります
次回以降（次々回）、他のパターンの２次不等式も見ていきましょう
