今回は過去問解説です。
東京医科歯科大学医学部及び歯学部の２０２４年度の入試問題です。（＊東京医科歯科大学は２０２４年
１０月に東京科学大学に統合されました）
本解説では、同一題材から出題された、医学部の第１問と歯学部の第１問から、学習効果を考えて、全ての小問を統合し、小問（１）～（５）として取り上げています。
誘導問題から発展問題までを一連の流れで学べるため、理解を深めやすいと考えたからです。
過去問演習として解かれる場合は、それぞれの学部の過去問通りの小問に絞って解かれた方が
各学部の要求する学力水準や出題傾向が分かるので、まずは各学部の本試験通りに解くことをお薦めします。
概要ですが、歯学部の小問では比較的優しく誘導されています。医学部の方はラストの小問が歯学部よりも難易度が若干上がっています。
\(n\)を\(２\)以上の自然数とする。自然数の組\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)を
解とする方程式
（＊） \(a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1×a_2×\cdots×a_n\)
を考えるとき，以下の各問いに答えよ。
（１） \(n=2\)のとき，（＊）の解\(（a_1,a_2)\)をすべて求めよ。
（２） \(n=3\)のとき，（＊）の解\(（a_1,a_2,a_3)\)のうち，
\(\quad a_1≦a_2≦a_3\)を満たすものをすべて求めよ。
（３） （＊）の解\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)が
\(\quad a_1≦a_2≦\cdots≦a_n\)を満たすとき，
\(\qquad a_1×a_2×\cdots×a_{n-1}≦n\)
となることを示せ。
（４） \(n≧3\)のとき，（＊）の任意の解\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)
において，\(a_i=1\)となる\(i\)が
少なくとも１つ存在することを示せ。
（５） （＊）のある解\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)において，
\(\quad a_i=1\)となる\(i\)がちょうど２個
存在しているとする。このとき，
\(\quad n\)の取り得る値をすべて求めよ。
（＊歯学部は（１）～（４）、医学部は（２）（４）（５）と出題されています）
（\(n\)を\(２\)以上の自然数とする。自然数の組\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)を
解とする方程式
（＊） \(a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1×a_2×\cdots×a_n\)
を考えるとき，以下の各問いに答えよ。）
今回は小問（２）からです。
（２） \(n=3\)のとき，（＊）の解\(（a_1,a_2,a_3)\)のうち，
\(\quad a_1≦a_2≦a_3\)を満たすものをすべて求めよ。
\(n=3\)のとき，（＊）は、
\(a_1+a_2+a_3=a_1a_2a_3\) となります。
ここでは、既に問題文で
\(\qquad a_1≦a_2≦a_3\) ・・・（a）
を満たすもの
と指定されています。
また、小問（１）（前回解説）の[解2][解3]のように
分数や積の形に変形しても、文字３つになると、
簡単に絞り込めません。
ここは素直に、
問題文の指定（（a）は誘導、ヒントと言えます）を生かし、
「不等式で絞り込む」アプローチを取ります。
\(a_1a_2a_3=a_1+a_2+a_3\)
\(\qquad ≦a_3+a_3+a_3=3a_3\) ・・・(b)
\(a_1+a_2+a_3\)よりも、大きい方同士を足した\(a_3+a_3+a_3\)の方が大きくなりますよね。
小問（１）の[解１]ときと同様に、(b)がいえることがわかると思います。
ここで、\(a_3\)は自然数ですから、
\(a_3>0\)です。
よって(b)の不等式を\(a_3\)で割っても不等号はそのまま成り立ちますから、
(b)の両辺を\(a_3\)で割ります。
\(\qquad a_1a_2≦3\)
絞り込めました。
\(a_1,a_2\)は自然数ですから、
\(\quad (a_1, a_2)=(1,\;1) ,\;(1,\;2) , \;(1,\;3)\)
\(\qquad (a_1,\; a_2)=(1,\;1)\)のとき、 \(a_3=2+a_3\) より不適
\(\qquad (a_1, \;a_2)=(1,\;2)\)のとき、 \(2a_3=3+a_3\) より \(a_3=3\)
\(\qquad (a_1, \;a_2)=(1,\;3)\)のとき、 \(3a_3=4+a_3\) より \(a_3=2<a_2\) となり不適
したがって \((a_1,\;a_2,\;a_3)=(1,\;2,\;3)\)
次は小問（３）です。
（３） （＊）の解\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)が
\(\quad a_1≦a_2≦\cdots≦a_n\)を満たすとき，
\(\qquad a_1×a_2×\cdots×a_{n-1}≦n\)
となることを示せ。
小問（１）でｎが２の場合、小問（２）でｎが３の場合を検討しているので、「\(a_n\)の場合も同じようにやってみよう」としたら求める式になりそうです。
\(a_1×a_2×\cdots×a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)
\(\;≦a_n+a_n+\cdots+a_n=na_n\) ・・・（c）
\(a_1+a_2+\cdots+a_n\)よりも、大きい方同士を足した\(a_n+a_n+\cdots+a_n\)の方が大きくなりますよね。
小問（１）（２）のときと同様に、(c)がいえることがわかると思います。
ここで、\(a_n\)は自然数ですから、
\(a_n>0\)です。
よって(c)の不等式を\(a_n\)で割っても不等号はそのまま成り立ちますから、
(c)の両辺を\(a_n\)で割ります。
\(\qquad a_1×a_2×\cdots×a_{n-1}≦n\)
次は小問（４）です
（４） \(n≧3\)のとき，（＊）の任意の解\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)
において，\(a_i=1\)となる\(i\)が
少なくとも１つ存在することを示せ。
まず、
歯学部（小問（１）～（４））の場合は、
小問（１）（２）（３）の流れから考えて、
医学部（小問（２）（４）（５））の場合は、
小問（２）をヒントに、
小問（４）においても、
\(\quad a_1≦a_2≦\cdots≦a_n\) ・・・（d）
と仮定して考えます。
実際、（＊）の解\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)は、
いずれの解も全て、小さい方から順に並べ替えることができ、
また、並べ替えても（＊）の両辺の値には影響せずそのまま成り立つので、
\(a_i=1\)となる\(i\)が存在するかどうかは、（d）と仮定した上で
示しても変わりません。
問題文に「少なくとも一つ存在する」とあるので、
まずは「存在しない」と仮定して矛盾を示す「背理法」
を考えます。
\(a_i=1\)となる\(i\)は１つも存在しないと仮定します。
すると
\(\qquad a_i≧2\) であるから
\(a_1×a_2×\cdots×a_{n-1}≧2\cdot2\cdot2\cdots2=2^{n-1}\)
二項定理を用いると
\(n≧3\)のとき
\(2^{n-1}=(1+1)^{n-1}\)
\(=_{n-1}C_0+_{n-1}C_1+\cdots+_{n-1}C_{n-1}\)
\(>_{n-1}C_0+_{n-1}C_1\)
\(=1+(n-1)=n\)
となり（３）と矛盾する。
よって、\(a_i=1\)となる\(i\)が少なくとも１つ存在する。
医学部の場合は、出題が小問（２）（４）（５）なので、
小問（２）だけをヒントに、
小問（４）の解答の冒頭、または途中で、
自分で（３）の結論も導く必要があります。
（２）をヒントに「\(n\)の場合も同じ絞り込みをしておこう」
と考えて冒頭で導くか、
背理法でスタートしてから、「矛盾」の材料探しで
（２）を「誘導だろう」と疑って導くなど
自力で導かないといけません。
その分難易度が上がります。
お疲れ様でした。
小問（５）は、次回以降で解説していきます。
