今回は過去問解説です。
東京医科歯科大学医学部及び歯学部の２０２４年度の入試問題です。（＊東京医科歯科大学は２０２４年１０月に東京科学大学に統合されました）
本解説では、同一題材から出題された、医学部の第１問と歯学部の第１問から、学習効果を考えて、全ての小問を統合し、小問（１）～（５）として取り上げています。
誘導問題から発展問題までを一連の流れで学べるため、理解を深めやすいと考えたからです。
過去問演習として解かれる場合は、それぞれの学部の過去問通りの小問に絞って解かれた方が
各学部の要求する学力水準や出題傾向が分かるので、まずは各学部の本試験通りに解くことをお薦めします。
概要ですが、歯学部の小問では比較的優しく誘導されています。医学部の方はラストの小問が歯学部よりも難易度が若干上がっています。
\(n\)を\(２\)以上の自然数とする。自然数の組\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)を解とする方程式
（＊） \(a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1×a_2×\cdots×a_n\)
を考えるとき，以下の各問いに答えよ。
（１） \(n=2\)のとき，（＊）の解\(（a_1,a_2)\)をすべて求めよ。
（２） \(n=3\)のとき，（＊）の解\(（a_1,a_2,a_3)\)のうち，
\(\quad a_1≦a_2≦a_3\)を満たすものをすべて求めよ。
（３） （＊）の解\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)が
\(\quad a_1≦a_2≦\cdots≦a_n\)を満たすとき，
\(\qquad a_1×a_2×\cdots×a_{n-1}≦n\)
となることを示せ。
（４） \(n≧3\)のとき，（＊）の任意の解
\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)において，\(a_i=1\)となる\(i\)
が少なくとも１つ存在することを示せ。
（５） （＊）のある解\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)において，
\(\quad a_i=1\)となる\(i\)がちょうど２個
存在しているとする。このとき，
\(\quad n\)の取り得る値をすべて求めよ。
（＊歯学部は（１）～（４）、医学部は（２）（４）（５）と出題されています）
\(n\)を\(２\)以上の自然数とする。自然数の組\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)を
解とする方程式
（＊） \(a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1×a_2×\cdots×a_n\)
を考えるとき，以下の各問いに答えよ。
（１） \(n=2\)のとき，（＊）の解\(（a_1,a_2)\)をすべて求めよ。
まずは、小問１です。
[解１―不等式アプローチ]
\(n=2\)のとき，（＊）は、
\(a_1+a_2=a_1a_2\) となります。
このような対称性のある式の場合、
一つの解で\(a_1とa_2\)で数字を入れ
替えても、同じ式を満たすので、
最初に「小さい方の数を\(a_1\)とする」
というように仮定して、後から仮定を外
すという方法が有効な場合があります。
ここでは、
\(\qquad a_1≦a_2\)
と仮定します。
\(a_1a_2=a_1+a_2≦a_2+a_2=2a_2\) ・・・(a)
\(a_1+a_2\)よりも、大きい方同士を足した\(a_2+a_2\)の方が大きくなりますよね。
(a)がいえることがわかると思います。
ここで、\(a_2\)は自然数ですから、
\(a_2>0\)です。
よって(a)の不等式を\(a_2\)で割っても不等号はそのまま成り立ちますから、
(a)の両辺を\(a_2\)で割ります。
\(\qquad a_1≦2\)
一気に絞り込めました。
\(a_1\)は自然数ですから、
\(\quad a_1=1,2\)
\(a_1=1\)のとき、
\(\qquad 1+a_2=1\cdot a_2\)より不適
\(a_1=2\)のとき、
\(\qquad 2+a_2=2\cdot a_2\) より \(a_2=2\)
よって \((a_1,a_2)=(2,2)\)
[解２―整数問題アプローチ１]
\(a_1+a_2=a_1a_2\)
\(a_1a_2-a_1=a_2\) \(a_1\)のつくものを左辺に集めました
もちろん、式の中で共通因数でくくれるものがあったらくくってみよう、という意図です。
\(a_1\)でくくってみます
\(a_1(a_2-1)=a_2\) ・・・(b)
\(a_1\)も\(a_2\)も自然数なので、 \(a_1=\) の形
にすれば、何か言えること（絞り込み）
があるのではないか、と疑います。
\(a_1=\)の形にするには、 \((a_2-1)\)で割らないといけません（わかりやすさ重視であえて()のままにしてあります）
まず、割る数が０でないか検証します。
\(a_2-1=0\) のときは両辺を割れません。このとき \(a_2=1\) です
\(a_2=1\)のとき、(b)の両辺は
\(\qquad 0=1\) となり不適
次に
\(a_2≠1\)のとき
\(\qquad a_1=\dfrac{a_2}{a_2-1}\)
ここで
\(a_1\)は自然数だから
\(a_2\) は \(a_2-1\) で割り切れる
ところが、自分より１小さい数で割り切れる自然数は２しかありません。
(例えば６は５で割り切れず、１８は１７で割り切れません。約数のうち自分自身の次に大きい数は例えば偶数なら自分自身の「半分」です。相棒の因数の最小が２なのですから当然です）
したがって \(a_2=2\)
\(a_1+2=2a_1\)
\(a_1=2\)
よって \((a_1,a_2)=(2,2)\)
[解３―整数問題アプローチ２]
\(a_1+a_2=a_1a_2\)
\(a_1(a_2-1)-(a_2-1)-1=0\) ←つじつま合わせの足したり引いたりで無理矢理因数分解して 整数×整数＝整数の形にします。
\((a_1-1)(a_2-1)=1\)
\(a_1,a_2\)は自然数だから \(a_1-1≧0 , a_2-1≧0\)
したがって
\(a_1-1=1 ， a_2-1=1\)
よって \(a_1=2 , a_2=2 (a_1,a_2)=(2,2)\)
[解３]が最もシンプルですっきりした解答であり、一般的に良く採用されている解法だと思います。
しかし、「この解法しかない」と丸暗記したり、「この形に変形できなければ解けない」と考える必要はありません。
例えば[解２]のように、整数問題では自由にアプローチして絞り込む工夫をその場で考える力はとても重要で、約数・倍数や割り切れ方に注目して解を絞り込むことでも解くことができ、素因数分解などの中学数学の知識が役立つ場面も少なくありません。
また、[解１]のように、不等式での絞り込みに持ち込むのも重要なアプローチです。
この小問は解そのものよりも、「様々な視点から解を絞り込む方法がある」ということを学ぶのに適した問題だと思います。
お疲れ様でした。
小問（２）以降は、次回以降で解説していきます。
