「２次方程式の解と２次関数のグラフ」
例えば２次関数
\(ｙ＝x^2-4x+3\)・・・・・①
のグラフのｘ軸との交点のｘ座標は
\(x^2-4x+3=0\)・・・・・②
という２次方程式の２つの解になります。
まず①のグラフを書いてみます。
【１】 2次関数 \(y=x^2-4x+3\) のグラフ
2次関数のグラフは基本的に
「放物線」（物を斜め上に放り投げたときに描く曲線）
を描きます
高校数学では、
「よく分からないときは、関数の式を満たす点を複数取り、それを結ぶ」と形が分かります。「関数のグラフを書く基本」だと思ってください
しかし、もちろん、それぞれの関数ごとに、効率的な「グラフの書き方」はあります。
２次関数のグラフを書くのに必要なデータとして
㋐頂点㋑上に凸か下に凸か㋒ｙ切片ｘ切片 などを求めます
㋐頂点 の求め方
いわゆる「平方完成」という変形をします
\(y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1\)
これは\((x-2)^2≧0\)なので、 ⇐実数を２乗するので負にはなりません
ｙはｘ＝２のときが最小の値ー１を取ることが分かります。
これがグラフの頂点です。
ｘ軸、ｙ軸と上図のように交わります。（㋒にあたります）
冒頭で述べたように、
この２次関数のグラフとｘ軸との交点が
「２次方程式 \(x^2-4x+3=0\) の解」になります。
ここで数Ⅰの２次関数一般についてもう少し基本的な所から見ていきます
【２】 数Ⅰの２次関数における用語など
中学でも「2次関数」を扱いましたが、
主に頂点が原点のものに限られました。
他に大きな違いとして、数Ⅰで出てくるのは、
「\(f(x)\)]というやつです。
\(y=f(x)=x^2-4x+3\)
などと書きます。
これとても便利な表記なんです。
意味は
「変数ｘを２乗して、そこからｘの４倍を引き、３を足す、という作業を施します。それをｆ(x)と呼びます。」くらいの感じでいいです。
関数の英語functionのｆでもありますが、
例えば \( g(x)=-2x^2+3x-5 \) と区別する意味で、
ｆ(x)、ｇ(x)などと呼んでいる（区別のための名称）の役割
をしています。
何が便利かというと、
例えば、
\(xに１を代入したときのｙの値\) は
\(1^2-4・1+3=0\)
というのを表現するのに
\(y=f(1)=0\)
これで済むのです。
上の最小値の例では、
\(f(2)=-1\)
つまりこれは
「関数\(y=f(x)\)において\(ｘ\)を\(2\)とすると、\(y\)の値は\(-1\)」
となります。
また
\(f(0)=3\)
これはすなわち
ｘが０のときのｆ(x)すなわちｙの値ですから、ｙ切片が
点（０，３）と分かるわけです。
【３】 ここで２次方程式②に戻ってみましょう。
\(x^2-4x+3=0\)
は、この式のｘに代入すると式が成り立つ、
すなわち左辺のｘにある値を代入すると＝０となる
ｘの値が方程式の解となるわけです。
とすると、上のグラフを見てください。
\(x=1\)のときの\(y\)の値、
すなわち\(f(x)\)は、
\(f(1)=0 ・・・③\)
となっていることが分かります。
でも、③が成り立つってことは、
\(f(x)=x^2-4x+3\)の\(x\)に\(1\)を代入したら\(=0\)になる
ってことですよね
つまり
\(x=1\)は、２次方程式②を満たすってことで、ここでは他に条件などもないので、x＝１は②の解の一つということになります。
同様に\(x=3\)も解と分かります。
①の２次関数と２次方程式②に限らず、より一般的にいうと、
2次関数 \(y=f(x)=ax^2+bx+c\) のグラフが
ｘ軸とx=α,x=βで交わるとき
\(すなわちf(α)=0,f(β)=0\)が成り立つとき、
\(α,βは２次方程式\)
\(ax^2+bx+c=0の解である\)
２次関数が２次方程式とどのようにリンクするのか、
イメージできたでしょうか
上では、「ｙ＝ｆ(x)のグラフがｘ軸と交わるとき」、と述べましたが
では、「交わらないとき」は？
次回、２次関数（２）「２次不等式と2次関数のグラフ」 について見ていきます。
