「判別式と頂点のｙ座標ⅰ」
【１】
2次関数の一般式を変形して
\(y=f(x)=ax^2+bx+c\)
\(=a(x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}・・・①\)
頂点の座標は
\((-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^2-4ac}{4a})・・・②\)
この頂点の座標とｘ軸との位置関係を見ていきます。
まずは下に凸からいきます
下に凸の２次関数のグラフで
頂点がｘ軸よりも下に来ている場合を考えます
「ｘ軸よりも下」ということは、形としては
こんな感じですよね
座標でいうと、「頂点のｙ座標が負の値」という事です
②のｙ座標の値をみてください
\(-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\) これが負の値ということですから
\(-\dfrac{b^2-4ac}{4a}<0\) ・・・③
いま下に凸な２次関数のグラフを考えているので
①の式で
\(a>0\)
です
となると③は
\(b^2-4ac>0\) ・・・④
となります
④の左辺は２次方程式の判別式と同じになっていますよね
つまり、④は、①の式をｙ＝ｆ(ｘ)＝０と置いた２次方程式で、判別式＞０とい
うことと同じです。
実はこれ、当然なんですね
①の式ｙ＝ｆ(ｘ)＝０と置いた２次方程式が異なる２つの実数解を持つというの
は、２次関数ｙ＝ｆ(ｘ)がｘ軸との異なる２つの交点を持つことと同じです
その２つの交点のｘ座標を知りたいと思ったら、ｙ＝ｆ(ｘ)とｘ軸との交点を求め
る計算をしなければならないが、
それは結局、ｙ＝ｆ(ｘ)のｙ＝０のときのｘの値を求めることに他ならないので、
2次方程式ｙ＝ｆ(ｘ)＝０を解くことと同じになるわけです。
これはまた、言い方を変えると、放物線①と直線ｙ＝０（ｘ軸を式で表すとｙ＝
０という直線になります）との交点を求める式、という言い方もできます。
「下に凸な２次関数の頂点のｙ座標が“負の値”⇒
ということは、頂点がｘ軸より下に来ているのだから、
ｘ軸との交点は２個⇒
それはすなわち、
ｙ＝ｆ(ｘ)＝０という２次方程式の判別式＞０⇒
すなわち「ｙ＝ｆ(x)＝０という２次方程式が異なる２つの実数解を持つ場合」、
ということです
①の形の変形は、「計算マスター」の回でやった通りですが、
自在に出来るようにしておくと、判別式と交点の個数と頂点のｙ座標の関係
がよく分かるので、一度はやっておくことをお勧めします
（もちろん既にもしくは最初から分かっているという人はやる必要ありません）
（力をつける計算マスター「２次方程式の解の公式の導出」参照）
このあたりの項目は、
「曲線と直線の交点」を考えるシーンは、高校数学全般にわたって出て来ますが、
その基本となる考え方が含まれているので、とても大事な所です。
今回は、「ｘ軸と異なる２つの交点を持つ場合」でした
次回（または次々回）―２次関数（５）―では、「ｘ軸と接する場合」をみていきます。
