「２次不等式と２次関数のグラフⅱ」
【１】 前々回に続き、いくつかの２次不等式を見ていきます
\(x^2+2x+3>0・・・㋐\)
\(-x^2-2x-3>0・・・㋑\)
ｆ(x)のグラフを見てください。
最小値が２です。
つまりｆ(x)は負の値を取ることがありません。
とすると２次不等式㋐の解は、「すべての実数」となります
ｘにどんな実数を入れても、㋐の左辺は「正」なので、
ｘは「すべての実数」が解となるのです。
今度は
ｇ(x)のグラフを見てください。
最大値がー２です。
ｇ(x)は正の値を取ることがありません。
ということは、2次不等式㋑は、
解なし となります。
ｘにどんな実数を入れても左辺が０より大きくなることはありませんから、
「解なし」なのです。
㋐と㋑の不等号を反対にしたらどうなるでしょうか。
例えば㋐の不等号を反対向きにすると、
\(x^2+2x+3<0・・・㋒\)
左辺はどんな実数\(x\)を入れても正の値を取るので、
不等式㋒の解は
解なし となります。
そして㋑の不等号を逆向きにした
\(-x^2-2x-3<0・・・㋓\)
不等式㋓の解は、
すべての実数 です。
どんな実数ｘを入れても、㋓の左辺は負の値しか取りませんから、
「すべての実数」が解となるのです。
【２】
上の\(f(x)\)のように
「下に凸な２次関数のグラフの頂点（最小値）が正なら、グラフは全てｘ軸の上側でｘ軸と交点を持たない」
また、
\(g(x)\)のように
「上に凸な２次関数のグラフの頂点（最大値）が負なら、グラフは全てｘ軸の下側にあり、ｘ軸と交点を持たない」
ことがわかると思いますが、
２次関数のグラフが上に凸か下に凸か、頂点のｙ座標の符号、ｘ軸との交点、
そして２次方程式の判別式との関係を次回見ていきます。
高校数学の肝（きも）と言ってもいい重要かつ数Ⅱ、数Ⅲ、大学入試まで
汎用性の高い考え方、理解すべきポイントが詰まった、
数Ⅰの重要項目の一つです。
