三角関数の合成の公式も、その場で作れるようにしておきましょう。
もちろん覚えておいた方が良いですし、とっくに覚えてしまったという人も、作る過程も分かっていた方がいざというとき確認できる、「一つの変形方法」として応用が利きます。
まずは、
公式です。
\(a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\)
ただし
\(\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
これも実は
「加法定理」の式から導きますが、
「なぜ、こんな式を作るのか」
といえば、
「\(\sin\)か\(\cos\)かどちらか一つの関数で表せると、何かと都合が良いから」
です。
どう都合が良いかは、あとで例題で見るとして、
まずは、「加法定理」の式から、どのように「合成の公式」を作るのか
導出過程を見てみましょう。
変形前の式は
\(a\sin\theta+b\cos\theta\) です
これを \(\sqrt{a^2+b^2}\) で割ります
しかし、勝手に割ると元の値と変わってしまうので
割った式の全体に、同じ \(\sqrt{a^2+b^2}\) をかけて、
値が変わらぬよう、つじつま合わせをします。
すなわち
\(\sqrt{a^2+b^2}\{\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta\}\)
ここで
なぜこんなことをするかというと
\(\sqrt{a^2+b^2}\)で割ってあげると、
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)の２乗と\(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)の２乗を足すと１になってくれるから、
つまり、\(a\sin\theta+b\cos\theta\) の\(\sin\;\)の前の\(a\;\)と、\(\cos\;\)の前の\(b\;\)を２乗して足して√にしたものって、結局、\(a,\;b\;\)を２辺とする直角三角形の斜辺です。
ということは、
ここで、
このように斜辺\(\;\sqrt{a^2+b^2}\;\), 底辺\(\;a\;\), 対辺\(\;b\;\) とする直角三角形の角\(\;\alpha\;\)に対する\(\;\sin,\;\cos\;\)を考えると、
\(\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
となりますから、
\(\sqrt{a^2+b^2}\{\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta\}\)
この式の
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) は\(\;\cos\alpha\;\)
\(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) は\(\;\sin\alpha\;\)
と置き換えることができます。
「2乗して足したら１」って、
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) でしたよね。
もちろん
\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) です。（よりわかりやすくするため\(\alpha\;\)で上の図と統一しておきます。）
これって
\((\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2\)
\(=\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{a^2}{a^2+b^2}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1\) ・・・（ア）てことなんだけど、
斜辺を \(\;\sqrt{a^2+b^2}=c\;\) と置くと
（ア）の両辺を\(\;c^2\;\)倍すると、
\(\qquad a^2+b^2=c^2\)
三平方の定理ですね。
直角三角形において、
\((対辺)^2+(底辺)^2=(斜辺)^2\)
\(\left(\dfrac{対辺}{斜辺}\right)^2+\left(\dfrac{底辺}{斜辺}\right)^2=1\) という
三平方の定理の両辺を\((斜辺)^2\;\)で割った式が当然に成り立つので、
\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) も \(\sin\alpha=\dfrac{対辺}{斜辺},\;\cos\alpha=\dfrac{底辺}{斜辺}\) ですから（ただし\(0<\alpha<\dfrac{π}{2}\))
当然成り立つわけです。
それを逆手に取って、
\(\sqrt{a^2+b^2}\{\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta\}\)
のように、\(\sin\;\)の前と\(\;\cos\;\)の前を、「２乗して足すと１になるように」変形したら、直角を挟む２辺が\(\;a\;\)と\(\;b\;\)の直角三角形の\(\sin\;\)と\(\;\cos\;\)に置き換えられる、ということです。
それを利用して変形すると
\(a\sin\theta+b\cos\theta\)
\(=\sqrt{a^2+b^2}\left\{\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta\right\}\)
\(=\sqrt{a^2+b^2}\left\{\cos\alpha\sin\theta+\sin\alpha\cos\theta\right\}\) ・・・（イ）
（イ）まで来ると、「見えて来ます」よね。
｛｝の中は、加法定理の公式そのままです。
\(\qquad \sin(\theta+\alpha)\;\)になっています。
（イ）は、
\(a\sin\theta+b\cos\theta\)
\(=\sqrt{a^2+b^2}\left\{\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta\right\}\)
\(=\sqrt{a^2+b^2}\left\{\cos\alpha\sin\theta+\sin\alpha\cos\theta\right\}\)
\(=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\)
ただし、
\(\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
三角関数の合成の公式の出来上がりです。
それでは、次に、
「合成して一つの関数で表すと何が都合が良いのか」
を見てみましょう。
分かり易い典型的な問題例として、
\(y=3\sin\theta+4\cos\theta (0≦\theta≦2π)\) の最大値・最小値を求めよ。
三角関数のグラフを思い返してください。
sinとcosのグラフを重ねると
こうなります。
\(3\sin\theta+4\cos\theta\) の最大値・最小値なんて
「どうなるんだろう」と思いますよね。
合成してみましょう。
\(y=3\sin\theta+4\cos\theta\)
\(\quad =\sqrt{3^2+4^2}\left(\dfrac{3}{\sqrt{3^2+4^2}}\sin\theta+\dfrac{4}{\sqrt{3^2+4^2}}\cos\theta\right)\)
\(\quad =\sqrt{25}\left(\dfrac{3}{\sqrt{25}}\sin\theta+\dfrac{4}{\sqrt{25}}\cos\theta\right)\)
\(\quad =5\left(\dfrac{3}{5}\sin\theta+\dfrac{4}{5}\cos\theta\right)\)
\(\quad =5\left(\cos\alpha\sin\theta+\sin\alpha\cos\theta\right)\)
\(\quad =5\left(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha\right)\)
\(\quad =5\sin\left(\theta+\alpha\right)\)
ただし、\(\sin\alpha=\dfrac{4}{5}\quad\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\)
・・・（ウ）
\(y=3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin\left(\theta+\alpha\right)\) ・・・（エ）
\(0≦\theta≦2π\) だから \(\alpha≦\theta+\alpha≦2π+\alpha\)
この範囲で（エ）の最大値、最小値を考えると、
（ウ）から\(\;0≦\alpha≦\dfrac{π}{2}\;\)であるから、
\(\theta+\alpha=\dfrac{π}{2}\;\)すなわち\(\;\theta=\dfrac{π}{2}-\alpha\;\)のとき、最大値\(\;５\)
\(\theta+\alpha=\dfrac{3π}{2}\;\)すなわち\(\;\theta=\dfrac{3π}{2}-\alpha\;\)のとき、最小値\(\;-5\)
どうでしょうか。
元の
\(y=3\sin\theta+4\cos\theta\)
から最大値、最小値を考えるより、簡単ではないでしょうか。
sinだけ（とかcosだけ―cosだけにも変形できます―）ならば、頭の係数を除けば、基本的に取り得る値は、―１≦sinθ≦１ですから。
角度が（θ＋α）であろうと、sinが１なり－１なりを取り得る\(\dfrac{π}{2},\;\dfrac{3π}{2}\;\)が範囲に入っていれば、\(-1≦\sin(\theta+\alpha)≦1\;\)になるわけですから、後は係数の５をかけるだけです。
\(\alpha\;\)の値が、「具体的な数字ではない」のが、初めなんとなくしっくり来なかったり、難しく感じる要因にもなっているかと思いますが、
\(\alpha\;\)は、この問題では、
\(\sin\alpha=\dfrac{4}{5}\quad\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\quad \)を満たす\(\;\alpha\;\)ということで
このときのαは、度数法で約５３°、弧度法で約０．３π、などと具体的な数字を表示しなくても、「sinやcosがこの値を取る、この条件を満たす角αがあり、そのαのこと」と示していれば、それで良い。
ということが分かると、「難しく感じる度合い」も軽減してくると思います。
また、
\(5\sin\left(\theta+\alpha\right)\) というのは
上記、三角関数のグラフでいうと、
「位相をずらし、ｙ軸方向に拡大したもの」
ですが、
物理の波動で学ぶ「位相のずれ」や「振幅」の考え方は三角関数の合成を理解する上でも役立ちます。波の重ね合わせをイメージできると、三角関数のグラフの変化もより自然に理解できるでしょう。
お疲れ様でした。
いかがだったでしょうか。
三角関数の合成への抵抗感が少しでも減ってくれると良いと思います。（将来的に大学入試など総合問題的な問題では良く使うので）
次回未定です。
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