三角関数の加法定理
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
・・・⑴
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)
・・・⑵
この２つは覚えましょう。
加法定理を導く過程も取り上げる機会もあるかもしれません（今のところ未定）
以前大学入試に出たこともあります（東大―１９９９年）
教科書やチャート（数研の「チャート式」シリーズ参考書のことです、管理人は圧倒的チャート推しです）の公式導出過程は自分で再現できるのが望ましい、ということです（もちろん全ての大学受験に必要というわけではなく、最難関を狙うならば、ということですが）
加法定理を導くほうは、難しいので、一般の大学受験にはオーバーワークになってしまいます。
ここでは、特に入試で記述式も受ける理系ならば、是非ともやっておいて欲しい、
三角関数の公式あれこれの加法定理からの導き方をやります。
もちろん文系の人も、受験で数Ⅱを使うならば、本番で公式を確実に確認できる手段として覚えておいて損はないです。
教科書やチャートに普通に載っているので、「知っている、分かっている」という人はやる必要ありませんが、「公式覚えてはいるが、導く過程と言われると再現できないものもあるかも」という人は、是非全部通しでやってみましょう。
受験当日までずっと役に立ちます。
【１】
まずは \((\alpha-\beta)\) の式から
\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\)
・・・⑶
\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)
・・・⑷
ですね
⑴から⑶、⑵から⑷が出来る過程をたどると、次のようになります。
⑶は、⑴の式でβをーβに置き換えると
左辺は \((\alpha+\beta)\) が \((\alpha-\beta)\) になります
右辺は \(\sin(-\beta)=-\sin\beta\) だから符号が変わり、
\(\cos(-\beta)=\cos\beta\) ですから符号そのまま
になります
⑴からの変化をつなげて書くと
まずは⑴の式
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
この式のβのところにーβ
\(\sin(\alpha+(-\beta))\)
\(=\sin(\alpha-\beta)\)
\(=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)\)
\(=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha(-\sin\beta)\)
\(=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\)
⑵から⑷も同様にして
⑵の式でβをーβに置き換えると
\(\cos(\alpha+(-\beta))=\cos(\alpha-\beta)\)
\(=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(-\beta)\)
\(=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha(-\sin\beta)\)
\(=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)
となります
ここでのポイントは
\(\sin(-\theta)=-\sin\theta , \cos(-\theta)=\cos\theta\) の理解・暗記です
単位円を使った三角比の拡張の所を良く理解し覚えておく
のが、
数Ⅰの三角比単元、数Ⅱの三角関数、以降三角関数が絡む問題では必須の理解項目
であり、
ちゃんと理解しておくと非常に役に立ちますので、
学生でまだの人は、教科書や参考書などで学んでおきましょう。
【２】
次は２倍角の公式です。
まずは sin から
\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) ・・・⑸
です
⑴から⑸を導くのも易しいので過程を覚えましょう
⑴で \(\beta\) を \(\alpha\) に置き換えます
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
・・・⑴
\(\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\)
\(=2\sin\alpha\cos\alpha\)
\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) ・・・⑸
になりましたね
3⃣
次は cos の２倍角です
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)
・・・⑵
\(\beta\) を\(\alpha\) に置き換えます
\(\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha\)
\(=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)
\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\) ・・・⑹
\(\cos2\alpha\) の式は、複数の結果があり、また、半角の公式へと派生するので
とても重要ですが、この⑹の形が基本となります
⑹からさらに
\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) を代入すると
\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)
\(\qquad =(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha\)
\(\qquad =1-2\sin^2\alpha\) ・・・⑺
また
⑹に、\(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\) を代入すると
\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)
\(\qquad =\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)\)
\(\qquad =2\cos^2\alpha-1\) ・・・⑻
⑺、⑻を使えば、\(\cos2\alpha\) を \(\sin\alpha\) だけ、または、\(\cos\alpha\)
だけで表すことができます
ここから半角の公式が出来るので有り難いです。（使う機会多いです）
3⃣
⑺、⑻から、半角の公式を作りましょう。
\(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) より
\(2\sin^2\alpha=1-\cos2\alpha\)
\(\quad \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}\)
ここから
\(\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2}\) ・・・⑼
\(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\) より
\(2\cos^2\alpha=1+\cos2\alpha\)
\(\quad\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}\)
ここから
\(\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}\) ・・・⑽
お疲れ様でした。
ここまでは理解して完全に暗記またはすらすら再現できるようにしておくと便利です。
和⇒積、積⇒和の公式、３倍角なども、丸暗記せずとも、過程を再現できる（結果の正しさを確認できる）ようにしておきましょう（こちらの公式の導出もいずれ取り上げるかもしれません）
