２次方程式の解の公式、教科書、参考書にその導出過程も
載っていると思いますが、自分で紙に書いて導く過程を計算するのは、
とても有益なので、あえて取り上げます。
\(ax^2+bx+c=0\)
流れは、平方完成していき、平方根を求める形で整理していきます。
まずは、
\(x^2\)の係数\(a\)でくくります
\(a(x^2+\dfrac{b}{a}x)+c=0\) ・・・㋐
\(a(x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{b^2}{4a}+c=0\) ・・・㋑
さて、
㋐から㋑への変化ですが、なぜこうなったのか
㋐のときには \(a(x^2+\dfrac{b}{a}x)\) というのがありますね
これを無理矢理 \((x+〇)^2\) の形を作りたいのです（\((x-〇)^2\)でもよい）
\(a(x^2+\dfrac{b}{a}x)\) の
ｘの項の係数を見てください。
乗法公式の２乗の展開を考えると
ここに \((x+〇)^2\) の〇の部分に
来る数字の２倍の数が「ｘの項」
の係数になりますよね。
ですから、「ｘの項の係数\(\dfrac{b}{a}\)の半分の数\(\dfrac{b}{2a}\)を 〇 の箇所に配置します。
ところがそうすると、展開したときには、〇の箇所の２乗が出てくることになりますよね。
つまり \(\dfrac{b^2}{4a^2}\) に （）の前の \(a\) をかけた
\(\dfrac{b^2}{4a}\) が出て来ますが、
これは㋐には元々無かったものですね。
そこで、つじつま合わせで、 \(\dfrac{b^2}{4a}\) を引きます。
これが㋑です。
次に、ここからの目標として、 \((\) \()^2\) ＝右辺 の形に持っていき
（ ）＝\(±\sqrt{右辺}\) としたいわけですが、
そのために、\((\) \()^2\)以外を右辺に移項します。
\(a(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2}{4a}-c\)
さてこの式の両辺を\(a\)で割って（）の前の係数を無くしたい（１にしたい）の
ですが、その前に右辺を一つの分数にまとめてしまいます。
そうすれば、両辺を\(a\)で割ったときに、右辺は分母に\(a\)をかければ良いことになりますからね。
\(a(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a}\)
なんだか見たような形が出てきましたね。
ここで両辺を\(a\)で割れば、右辺は分母に\(a\)をかけるだけですね。
（ここで右辺を「aで割る」ことは「分母にaをかける」ことと同じです）
（もちろん、右辺のそれぞれの項をaで割ってから、通分しても構いません）
こうなります
\((x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\)
ここで
\(x+\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
ちゃんと見た形になってきましたね
最後に移項して終わりです
\(x＝\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
お疲れ様でした。
この作業を自分でやることの意味は、高校数学でよく出てくる様々な式の変形などの基本となる発想（無理矢理くくって余計なものを引く、など）の練習になることと、「判別式」や「２次関数の頂点の座標」などの知識・理解がより確かなものになると思います（そんなことをしなくても分かる人は無理に計算する必要はありませんが）
意外と基本的な公式の計算過程などが良く分かっていない、または再現できない、人が多いので、さらっと再現できない人は練習しましょう。
次回は、また２次関数に戻ります。
