「最大値・最小値ⅱ」―定義域の区間が動く場合―
ａを正の定数として ０≦ｘ≦ａ における関数 \(f(x)=x^2-4x+5\) について最大値最小値を求めよ。
まずは平方完成しましょう。
\(y=f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1\)
軸は ｘ＝２ です。
軸と定義域の両端との位置関係によって
「最大値・最小値を区間の端で取るのか、頂点で取るのか」・・・㋐
が決まってくるので、
「定義域と軸の位置関係で場合分け」
します。
このとき、㋐が分かるように簡単なグラフを書きます（必須です）。
グラフは、ｘ軸・ｙ軸を書かないのがコツです。ｘ軸やｙ軸をどこに書くかで迷わずに済みます。（解答するのに特に必要ではないので省いた図を書く方が圧倒的に早くて便利です）
グラフはaの値で場合分けすると、こうなります。
ひとつずつ見ていきましょう。
（１） ０＜ａ＜２ のとき
定義域に軸（頂点）が含まれていないので、
最大値・最小値は、区間の両端で取ります。
図より
最大値はｘ＝０で取り、最小値はｘ＝aで取ります。
最大値 ５ （ｘ＝０）
最小値 \(a^2-4a+5\) （ｘ＝a)
（２） ２≦a＜４ のとき
こんどは頂点（軸）が範囲に含まれていますから
最小値は頂点で取ります。
最大値は区間の両端を比べて、頂点（軸）から遠い方で取ります。
ｘ＝０ の方が、ｘ＝a よりも軸（頂点）から離れているので
最大値は ｘ＝０ で取ります。
最大値 ５ （ｘ＝０）
最小値 １ （ｘ＝２）
（３） a＝４ のとき
頂点（軸）が区間に含まれるので
最小値は頂点で取ります。
区間の両端でのグラフの高さ（＝ｙの値）が等しいので、
最大値は、 ｘ＝０，４ で取ります。
最大値 ５ （ｘ＝０，４）
最小値 １ （ｘ＝２）
（４） a＞４ のとき
今度は、定義域の右端の方が頂点（軸）から遠くなっているので、
そちらが最大値となります。
範囲に軸（頂点）が含まれているので、
最小値は頂点です。
最大値 \(a^2-4a+5\) （ｘ＝a）
最小値 １ （ｘ＝２）
お疲れ様でした。
文字の取る値の範囲による場合分け、最大値・最小値、など、高校数学の基本が詰まった数Ⅰの最重要項目の一つと言ってもいいでしょう。
フリーハンドでさっとグラフを書くことの重要性も教えてくれる問題です。
定義域が両端とも変化する場合や、軸が変化する場合と共に、
それぞれどのように場合分けすることになるのか、
何問か解いて理解を確実にしておきましょう。
最低限、「チャート」（赤チャ、青チャ、黄チャ、どれでも構いません）などで、例題をざっと眺めて「自分で解けるか」を確認しておきましょう。
次回か次々回あたりで、軸が動く場合、定義域全体が動く場合、の予定です。
